ベン図と集合論

集合論では30種類以上の記号が使われますが、基本を理解するには、そのうちの3つを知っておけば十分です。これらを習得できたら、より複雑なものにチャレンジしてみましょう。

2つの集合の和集合 : ∪

円や楕円はそれぞれカテゴリーを示します。2つの集合の和集合は ∪ で表します (英字の「u」とは違いますので、お間違えなく)。

これは、2つの円を使ったベン図です。緑の円が A、青の円が B で、完成したベン図は A と B の和集合 (A ∪ B) を示します。画像をクリックするとこの図をテンプレートとして使用できます。

では、現実世界での2つの集合の和集合とは、どんなものが該当するでしょう。例えば、集合 A がピアノを弾く人のグループ、集合 B がギターを弾く人のグループとすれば、A ∪ B はピアノを弾く人、ギターを弾く人、またはその両方を弾く人というようになります。

2つの集合の共通部分 : ∩

ベン図を作成する際には、2つの集合の共通部分、つまり、カテゴリー間で共有される項目に関心が向くことが多々あります。この図では、青緑の領域 (青と緑が重なる部分) が A と B の共通部分 (A ∩ B) を示します。

上述の例で説明すれば、ピアノとギターの共通部分には、両方の楽器をマスターした人が入ります。

1つの集合の絶対補集合 : A^c

ベン図を作成する際には、集合に含まれないものも考慮する必要があります。これは、集合 A の補集合 (A^c) となります。

ある集合の絶対補集合とは、その集合に含まれないすべてを指します。これはつまり、宇宙 (英字の U) が存在することを前提とすれば、A を除き、その宇宙に含まれるすべてが U における A の絶対補集合となるという意味で、この状態は方程式 A^c = U \ A で表すことができます。

以下の Lucidchart の図では、U における A の絶対補集合を表しています。グレーの部分は A 以外のすべてを示します。楽器の場合であれば、ピアノを弾かない人すべてに対応します。

集合論を表すファストフードのベン図

集合論を実際に応用してみるため、ある例を使ってみましょう。どんなファストフードレストランが好きかを A さん、B さん、C さんの3人に尋ねてみます。3つの円を使った図で、1つのレストランが誰にも選ばれない場合、1人に選ばれる場合、2人に選ばれる場合、全員に選ばれる場合のすべての可能性をカバーします。

アンケート結果は次のようになりました。

レストラン	A	B	C
McDonald's	x		x
Wendy's	x	x
Burger King
In-N-Out		x	x
Taco Bell	x		x
KFC
A&W
Chick-fil-A	x	x	x

次に、この結果を表すベン図を作成します。下のテンプレートを使用しました。先ほど説明した記号 ∩ で2つの集合と3つの集合の共通部分を表しています。レストランが占有できる領域は8つあります。

では、アンケート結果に従ってベン図に記入していきます。A ∩ B には、A さんと B さんの両方が選択した Wendy’s が入ります。Burger King は誰も選びませんでしたが、利用可能なファストフードレストランという宇宙には存在するので、図の外側の白い部分に入ります。A ∩ B ∩ C の共通部分には、全員が選んだ Chick-fil-A が入ります。

最終的な図は次のようになります。

ビジュアルを使えば、3人でランチの場所を決めるのもスムーズですね！

ベン図の使い方が分かったところで、この例をカスタマイズしてオリジナルの図を作ってみましょう。

ベン図の記号をさらに詳しく知るには

集合論についてさらに学び、高度なベン図を作成したい方には、おすすめできるリソースがいくつかあります。例えば、スタンフォード百科事典でも基本的な集合論の序論が公開されています。

ベン図の歴史を詳しく学ぶには、Lucidchart の解説ページ「ベン図とは？」を読んでみましょう。集合論を円を重ねる形で表現する方法を広めたのは John Venn 氏ですが、それ以前にもベン図の概念や記号はすでに存在していました。

作図に役立つヒント

ここまでのプロセスを Lucidchart で辿ってこられた方なら、ベン図作成にぴったりなソリューションであることがもうお分かりでしょう。クラウドで編集できるため、同僚とのコラボレーション、画像のインポート、デジタルや紙ベースでの図の共有などが手軽にできます。