Symboles des diagrammes de Venn

Il est temps de s'intéresser sérieusement aux diagrammes de Venn et pas à ceux de l’école primaire. Nous entendons par là des visuels complexes produits par des professionnels expérimentés pour représenter des idées mathématiques avancées.

Les diagrammes de Venn sont des représentations visuelles d’ensembles mathématiques – ou collections d’objets – qui sont étudiés à l’aide d’une branche de la logique appelée théorie des ensembles. Cette théorie est l’un des piliers fondamentaux des mathématiques, et elle a contribué à développer notre compréhension moderne de l’infini et des nombres réels.

Les chercheurs et les mathématiciens ont développé un langage et un système de notation autour de la théorie des ensembles. Si vous voulez percer leurs secrets, vous devrez vous familiariser avec les symboles des diagrammes de Venn.

Ce guide vous accompagnera dans la création d’un diagramme de Venn, en vous expliquant ses symboles au fur et à mesure. Nous utiliserons Lucidchart pour créer nos exemples, car c’est un outil facile à utiliser et entièrement gratuit. Si vous souhaitez nous accompagner ou créer votre propre diagramme de Venn, il vous suffit de cliquer ci-dessous et de créer un compte gratuit. Au travail !

Diagrammes de Venn et théorie des ensembles

La théorie des ensembles compte plus de 30 symboles, mais il suffit d’en connaître trois pour en comprendre les bases. Une fois que vous les aurez maîtrisés, vous pourrez passer à des choses plus compliquées.

Union de deux ensembles : ∪

Chaque cercle ou ellipse représente une catégorie. L’union de deux ensembles est représentée par ∪. (Attention à ne pas confondre ce symbole avec la lettre « u »).

Voici un diagramme de Venn à deux cercles. Le cercle vert est A et le cercle bleu est B. Le diagramme de Venn représente l’union de A et B ou A ∪ B. Vous pouvez cliquer sur l’image pour utiliser ce diagramme comme modèle.

À quoi ressemblerait l’union de deux ensembles dans le monde réel ? L’ensemble A pourrait représenter un groupe de pianistes. L’ensemble B pourrait représenter des guitaristes. A ∪ B représente les personnes qui jouent du piano, de la guitare ou les deux.

Intersection de deux ensembles : ∩

Lors de la création d’un diagramme de Venn, on s’intéresse souvent à l’intersection de deux ensembles, c’est-à-dire aux éléments qui sont partagés par les deux catégories. Dans ce diagramme, la zone turquoise (où le vert et le bleu se chevauchent) représente l’intersection de A et B, soit A ∩ B.

Pour poursuivre avec notre exemple, l’intersection des pianistes et des guitaristes comprend les personnes qui maîtrisent les deux instruments.

Complément d’un ensemble : A^c

Lorsque vous créez un diagramme de Venn, n’oubliez pas de prendre également en compte ce qui n’est pas représenté dans un ensemble. Il s’agit du complément d’un ensemble, ou A^c, pour l’ensemble A.

Le complément absolu d’un ensemble regroupe tout ce qui n’en fait pas partie. Cela signifie que pour un univers donné (U, la lettre, cette fois) tout ce qui se trouve dans cet univers, sauf A constitue le complément absolu de A dans U. Ceci peut être traduit par l’équation A^c = U \ A.

Vous voyez ci-dessous un diagramme Lucidchart illustrant le complément absolu de A dans U. La zone rouge représente tout ce qui est en dehors de A. Dans le cas de nos instruments de musique, cela voudrait dire tous ceux qui ne jouent pas de piano.

Un diagramme de Venn sur les fast foods pour illustrer la théorie des ensembles

Pour vous familiariser avec l’application pratique de la théorie des ensembles, prenons un exemple. Commençons par un sondage sur les préférences en matière de fast food de trois personnes. Ces trois personnes, que nous nommerons A, B et C, indiquent quels restaurants elles apprécient. Un diagramme à trois cercles couvre toutes les possibilités : qu’un restaurant soit choisi par aucun des sondés, par l’un d’entre eux, par deux d’entre eux ou par les trois.

Voici quels ont été les résultats :

Restaurant	R	B	C
McDonald's	x		x
Wendy’s	x	x
Burger King
In-N-Out		x	x
Taco Bell	x		x
KFC
A&W
Chick-fil-A	x	x	x

Créons à présent un diagramme de Venn représentant les résultats. Démarrons avec le modèle ci-dessous. Il emploie le symbole expliqué plus haut, ∩, pour désigner les intersections entre deux et trois ensembles. Il y a huit zones dans lesquelles nos restaurants peuvent être placés.

Remplissons à présent notre diagramme de Venn en fonction des résultats. Dans A ∩ B, nous trouvons Wendy’s, car le sondé A et le sondé B l’ont tous deux choisi. Burger King n’a été choisi par personne, mais il existe dans l’univers des fast foods disponibles, il se place donc dans l’espace blanc à l’extérieur du diagramme. L’intersection des trois sondés, A ∩ B ∩ C, contient Chick-fil-A, puisque les trois sondés l’ont choisi.

Voici à quoi ressemble le diagramme fini :

Maintenant, nous disposons d'un moyen visuel pour déterminer où ces trois personnes devraient aller déjeuner !

Vous savez désormais comment fonctionne un diagramme de Venn. Voici un exemple que vous pouvez facilement personnaliser pour créer le vôtre !

Informations complémentaires sur les symboles des diagrammes de Venn

Si vous voulez en savoir plus sur la théorie des ensembles et la création de diagrammes de Venn de qualité, plusieurs sources d’information sont à votre disposition. Par exemple, la Stanford Encyclopedia propose une introduction à la théorie des ensembles.

Pour en savoir plus sur l’histoire des diagrammes de Venn, lisez notre page « Qu’est-ce qu’un diagramme de Venn ? ». Bien que John Venn ait popularisé l’usage de cercles entrecroisés pour représenter la théorie des ensembles, les idées et symboles des diagrammes de Venn sont plus anciens que cela.

Un dernier mot

Si vous nous avez suivis à l’aide de Lucidchart, vous avez compris qu’il s’agit de la solution idéale pour créer des diagrammes de Venn. Le fait de travailler dans le cloud vous permet de collaborer facilement avec vos collègues, d’importer des images et de partager vos diagrammes sous forme numérique ou imprimée.